Aloha :)
Wir betrachten die Folge:$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad;\quad a_1=1$$
1) Beschränktheit:
Da Wurzeln nie negativ werden können, sind alle \(a_n\ge0\). Nach oben ist die Folge durch \(a_n\le2\) beschränkt. Das zeigen wir durch vollständige Induktion. Wegen \(a_1=1\le2\) ist die Verankerung bei \(n=1\) klar. Der Induktionsschrit sieht so aus:$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\stackrel{\text{(Ind.Beh.)}}{\le}\sqrt{2+2}=\sqrt4=2\quad\checkmark$$Damit sind alle Folgendglieder beschränkt: \(\quad0\le a_n\le2\).
2) Monotonie:
Wir betrachten die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder:$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(\overbrace{\sqrt{2+a_n}}^{=x}-\overbrace{a_n}^{=y})\cdot(\overbrace{\sqrt{2+a_n}}^{=x}+\overbrace{a_n}^{=y})}{(\sqrt{2+a_n}+a_n)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{\overbrace{(2+a_n)}^{=x^2}-\overbrace{a_n^2}^{=y^2}}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac94-\frac14+a_n-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{\frac94-\left(\frac14-a_n+a_n^2\right)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{\frac94-\left(a_n-\frac12\right)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}\ge\frac{\frac94-\left(2-\frac12\right)^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=0\quad\implies\quad a_{n+1}\ge a_n$$
Die Folge ist also monoton wachsend.
3) Grenzwert:
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert, daher konvergiert unser \((a_n)\). Den Grenzwert \(a\) bestimmen wir wie folgt:$$\left.a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+a_n}=\sqrt{2+\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$\left.a=\sqrt{2+a}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.a^2=2+a\quad\right|-a-2$$$$\left.a^2-a-2=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$(a-2)(a+1)=0$$Die Lösung \(a=-1\) fällt weg, da \(0\le a_n\le2\), bleibt als Grenzwert:\(\quad a=2\)
