Eigenschaften einer Folge die gezeigt werden sollen (binomischer Lehrsatz u.a)

Question

Hallo, Guten Abend, ich habe große Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Es geht um diese Folge: a_n := \( \sqrt[n]{n} \) -1 , für alle n Element von ℕ

a) Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass für alle n Element von ℕ gilt:

n ≥ 1 + \( \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \) * a²_n

b) Zeigen Sie, dass (a_n)_n eine Nullfolge ist. (Hinweis: Verwenden sie a) und das Zangenkriterium)

Problem:

Zur a): Ich habe noch nie den binomischen Lehrsatz verwenden müssen. Habe schon im Internet recherchiert, zu Folgen und dem Lehrsatz, jedoch bin ich da auch nicht schlauer geworden.

Zur b): Also soweit ich weiß gilt eine Folge als Nullfolge, wenn der Grenzwert a=0 ist, richtig? Ich soll hier a) und das Zangenkriterium verwenden, aber ich weiß hierzu nur, dass es etwas mit selben Grenzwerten zu tun hat, mehr nicht.


Habe ja schon versucht, diese Aufgabe zu lösen, jedoch bringe ich einfach nichts aufs Papier :(

Lieben Dank an jeden Helfenden

Answer 1

Vielleicht geht es so indem du (1+a_n)^n betrachtest.

Das ist ja zum Einen   \( (1+ \sqrt[n]{n}  - 1 )^n = (\sqrt[n]{n}) ^n = n \)  #

Und nach dem binomischen Satz

\(  (1+a_n)^n = 1 + n \cdot a_n + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 + \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} \cdot a_n^3 + ... + a_n^n \)

Wenn du die letzten (positiven ) Summanden weglässt also

\(  (1+a_n)^n \ge 1 + n \cdot a_n + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

Und wegen # also

\(  n \ge 1 + n \cdot a_n + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  n - n \cdot a_n \ge 1 + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  n  \cdot (1-a_n) \ge 1 + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  n \cdot (2- \sqrt[n]{n})  \ge 1 + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

Und weil \(  1\lt  \sqrt[n]{n}  \lt 2\) gilt, hat man \(  0\lt 2-\sqrt[n]{n}  \lt 1\)

also \(  n  \ge 1 + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

Comments

Oh, das ist echt schwer für mich zu verstehen...
Was genau muss ich aus der Lösung der a) für die b) verwenden?

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Berechne erst mal

\(   \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}  = \frac {n \dot (n-1)}{2}\)

Dann bekommst du

\(  n \ge 1 + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  n \ge 1 +\frac {n \dot (n-1)}{2} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  n-1  \ge \frac {n \dot (n-1)}{2} \cdot a_n^2 \)

<=> \(  2 \ge n \cdot a_n^2 \)

<=> \(  \frac {2}{n} \ge  a_n^2 \)

und da a_n nie negativ ist

=> \( \sqrt{ \frac {2}{n}} \ge a_n \ge 0 \).

Und da hast du auch die Zange.

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Nach einer Pause, habe ich mir nochmal alles angeschaut.
In der Zange steht ja, dass a_n ≥ 0 ist.
Muss ich dann noch den Grenzwert a=0  zeigen, indem man n gegen ∞ gehen lässt?

Answer 2

an := \( \sqrt[n]{n} \) -1

Das lässt sich umformen zu

\( a_n+1=\sqrt[n]{n} \) und anschließend mit n potenzieren:

\( n=(a_n+1)^n \)

Jetzt wäre es mal Zeit, den binomischen Satz ins Spiel zu bringen.

Comments

Danke für die Antwort erstmal.

Also: (a_n+1)ⁿ =\( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) (a_n)^n-k * 1^k  ?

Ich habe das einfach in die Formel eingesetzt die ich Internet gefunden habe.
Wie muss ich jetzt aber weiter vorgehen?

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Du hast die Binomialkoeffizienten vergessen.

\((a_n+1)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}  (a_n)^{n-k} * 1^k \)

Und bedenke 1^k = 1 , kann also als Faktor wegfallen.