Das Schaubild K der Funktion f mit f(x)=xe^(3-x) wird nach Kümmung und Monotonie untersucht

Question

Hi, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Das Schaubild K der Funktion f mit f(x)=xe^{3-x} wird nach Kümmung und Monotonie untersucht:

a)Für 1<x<2 ist K rechtsgekrümmt;

b)Für 1<x<2 ist f monoton fallend

Problem/Ansatz:

Ich denke man kann das entweder mit dem Schaubild oder mit einer Rechnung herauskriegen.

Ich wollte das besser ausrechnen und habe das so bei a) gemacht:

Erst abgeleitet f´(x)=-xe^(3-x)+e^(3-x)

Dann nochmal: f´´(x)= xe^(-x+3) -2e^(-x+3)

Rechtskrümmung bedeutet ja f´´(x) < 0

Mit Satz von NP: e^-x+3) * (x-2) < 0

hier habe ich dann e^(-x+3) > 0  und x < 2 rausbekommen. Also denke ich, dass die Aussage falsch ist. Stimmt meine Rechnung hier?

b)

monoton fallend bedeutet ja: f´(x) <0

also habe ich mit der ersten Ableitung den Satz von NP benutzt: e^(3-x) * (-x+1) < 0

Hier habe ich folgendes rausgekriegt:

e^(3-x) > 0 und 1 < x.

Nun würde ich sagen, dass die Aussage nicht stimmt aber hier bin ich mir unsicher, für was ich dass ausgerechnet habe oder wie ich die Ergebnisse deuten soll..

-

Danke für die Hilfe!

Answer 1

. Also denke ich, dass die Aussage falsch ist. Stimmt meine Rechnung hier?

Rechnung stimmt, und im Bereich 1<x<2 stimmt auch die

Ungleichung, also ist es dort rechtsgekrümmt.

Sieht auch so aus: (Wendepunkt ist erst bei x=3)

b) Der Hochpunkt ist bei x=1, danach ist es fallend.

Aussage stimmt also auch.

~plot~ x*exp(3-x) ~plot~