Konvergenz einer Reihe mit a_n:= max(0,a_n) zeigen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(a_n)$$

und seinen: $$a_n^+:= max(0,a_n); a_n^- :=max(0, -a_n)$$

zz: $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(a_n^+); \sum \limits_{n=0}^{\infty}(a_n^-)$$ sind divergent.

Problem/Ansatz:

Ich komme irgendwie gar nicht mit der Schreibweise mit dem Maximum zurecht. Falls das max = 0 ist, dann ist das doch eine konstante 0er Reihe oder nicht? Und wenn $$ a_n^+;a_n^- $$ keine Nullfolgen sind, dann müssen die doch aus der Def heraus schon divergieren? Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

Es ist

$$a_n^+=a_n \text{ wenn }a_n>0 \text{   und  }a_n^+=0 \text{ wenn }a_n \leq 0$$

$$a_n^-=-a_n \text{ wenn }a_n<0 \text{  und }a_n^-=0 \text{ wenn }a_n \geq 0$$

D.h. die \(a_n^+\) holen die positiven Summanden aus der Reihe heraus und die \(a_n^-\) die negativen, aber dann als \(-a_n\).

Es gilt daher

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^+ - \sum_{n=1}^{\infty}a_n^-$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=?$$

nicht wirklich. Was daran aufgrund der Voraussetzungen falsch ist, musst Du Dir überlegen. Das liefert die Lösung.

Gruß Mathhilf