Dreiecksungleichung Euklidische Norm

Question

Aufgabe:

Euklidische Norm: Dreiecksungleichung Beweis

Problem/Ansatz:

Ich soll beweisen, dass ||.||₁ eine Norm auf dem Rⁿ definiert.

Definitheit und Homogenität habe ich schon gezeigt, aber wie zeige ich die Dreiecksungleichung?

Answer 1

Hallo :-)

Für die p-Norm gilt:

$$\| x \|_p := \left(\sum_{i=1}^n | x_i |^p\right)^{1/p}.$$

Speziell für \(p=1\) hast du:

$$\| x \|_1 = \sum_{i=1}^n | x_i |.$$

Nutze \(|v+w|\leq |v|+|w|,\forall v,w\in \mathbb{R}\) gliedweise aus.

Comments

||v+w|| = \(\ \sum_{i=1}^n | v+w |\) <= \(\ \sum_{i=1}^n | v |\) +  \(\ \sum_{i=1}^n | w |\) = ||v|| + ||w||

so?

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Nein. Du musst aufpassen, was du einsetzt. Es ist ein Vektor.

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Könntest du mir zeigen, wie es richtig ist? Ich blicke es absolut nicht

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Für \(x:=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n\)

betrachtest du

$$\| x \|_1 = \sum_{i=1}^n | x_i |.$$

\(x_i\) sind reelle Zahlen.

Und jetzt nochmal: Nutze \(|v+w|\leq |v|+|w|,\forall v,w\in \mathbb{R}\) gliedweise aus. \(v,w\) sind einfach nur andere Variablen, die mit den \(x_i\) erstmal nichts zutun haben...

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Kannst du mir Literatur empfehlen, in der das behandelt wird? Die Vorlesung geht da überhaupt nicht drauf ein... Ich verstehe nicht, was falsch ist...

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Wo hast du hier Schwierigkeiten? Wenn du mein Beitrag liest, ab wo setzen deine Probleme ein?

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Ahhh...

Es muss so aussehen:

||v+w|| = \(\ \sum_{i=1}^n | v+w |\) = |v1+w1| + ... + |vn + wn| <= (|v1|+|w1|) + ... + (|vn|+|wn|) 

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Macht das nun Sinn?

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Fast ;-)

Sage immer, woher du Objekte hernimmst.

Für \(v:=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix},w:=\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n\) hat man:

$$ \|v+w\|_1=\left \|\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix}\right \|_1=\left \|\begin{pmatrix}v_1+w_1\\\vdots\\v_n+w_n\end{pmatrix}\right \|_1\\[20pt]=\sum\limits_{k=1}^n |v_i+w_i|=|v_1+w_1|+...+|v_n+w_n| $$

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Und wie zeige ich dann daraus die Ungleichung?

So wie ich es oben schon angefangen habe?

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Ja, richtig.

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||v+w|| = \(\ \sum_{i=1}^n | v+w |\) = |v1+w1| + ... + |vn + wn|

<= (|v1|+|w1|) +...+ (|vn|+|wn|) = \(\ \sum_{i=1}^n | w |\) + \(\ \sum_{i=1}^n | v |\) = ||v|| + ||w||

So, oder ist irgendwo ein Fehler?

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Nein.

\(\|v+w\|_1=\left \|\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix}\right \|_1=\left \|\begin{pmatrix}v_1+w_1\\\vdots\\v_n+w_n\end{pmatrix}\right \|_1\\[20pt]=\sum\limits_{k=1}^n |v_i+w_i|=|v_1+w_1|+...+|v_n+w_n|\\\leq (|v_1|+|w_1|)+...+(|v_n|+|w_n|)\\=(|v_1|+...+|v_n|)+(|w_1|+...+|w_n|)\\=\left(\sum\limits_{k=1}^n |v_k|\right)+\left(\sum\limits_{l=1}^n |w_l|\right)=\|v\|_1+\|w\|_1 \)

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Alles klar! Vielen Dank!