Question

Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen und die Art der gefundenen Unstetigkeit für die Funktionen gk: R→R mit k = 1,2,3,4. Begründen Sie Ihre Antwort durch Betrachtung der entsprechenden Grenzwerte.

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Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen und die Art der gefundenen Unstetigkeit für die Funktionen \( g_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( k=1,2,3,4 . \) Begründen Sie Ihre Antwort durch Betrachtung der entsprechenden Grenzwerte.
a) \( g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,3\} \) und \( g_{1}(-2)=g_{1}(3)=0 \)
b) \( g_{2}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und \( g_{2}(0)=0 \)
c) \( g_{3}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \sin \frac{1}{x} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und \( g_{3}(0)=0 \)
d) \( g_{4}(x)=\left[x^{2}\right] \).

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a) \( g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,3\} \) und \( g_{1}(-2)=g_{1}(3)=0 \),
b) \( g_{2}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und \( g_{2}(0)=0 \)
c) \( g_{3}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \sin \frac{1}{x} \) für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und \( g_{3}(0)=0 \),
d) \( \quad g_{4}(x)=\left[x^{2}\right] \).

Comments

a) Faktorisiere Zähler und Nenner.

Lässt sich eine Unstetigkeisstelle wegkürzen, handelt es sich eine hebbare Lücke.

d) x^(x/2) = e^(x/2*lnx)

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Wie faktorisiert man denn z.B. g₁ (x)? Ich habe es mit verschiedenen Techniken probiert und komme nicht auf das richtige Ergebnis. LG

Answer 1

a) \( g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6} = \frac{x+1}{x+2}\) für x≠3

und das gibt für x=3 den Wert 4/5 , also ist es mit \(g_{1}(3)=0 \)

sozusagen "falsch" definiert, dort ist eine Unstetigkeitsstelle in

Form eines Sprungs.

Bei x=-2 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, die Def. \( g_{1}(-2) \)

führt also auch nicht zur "Aufhebung" der Unstetigkeit.

Bei b bedenke \(  \lim\limits_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1   \) also hat g₂ für x gegen 0

den Grenzwert 0, es ist eine stetige Funktion entstanden.

Auch bei g₃ ist es so, denn der 2.Faktor ist beschränkt.

Bei g₄ Sprungstellen bei allen x∈ℤ\{0}.

Comments

Hey mathef, danke für deine Antwort.

Wie kommst du auf den allerersten Schritt? Habe es mit Polynomdivision und PQ-Formel probiert, komme da aber nicht weiter. Wie kommst du auf die vereinfachte Form?

\( \frac{x+1}{x+2} \)? Von dort aus ist es ja super nachzuvollziehen. LG

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Zerlege Zähler und Nenner in

Linearfaktoren. Dann lässt sich einer kürzen.