Question

Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen und die Art der gefundenen Unstetigkeit für die Funktionen gk: R→R mit k = 1,2,3,4. Begründen Sie Ihre Antwort durch Betrachtung der entsprechenden Grenzwerte.

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Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen und die Art der gefundenen Unstetigkeit für die Funktionen $g_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $k=1,2,3,4 .$ Begründen Sie Ihre Antwort durch Betrachtung der entsprechenden Grenzwerte.
a) $g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,3\}$ und $g_{1}(-2)=g_{1}(3)=0$
b) $g_{2}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ und $g_{2}(0)=0$
c) $g_{3}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \sin \frac{1}{x}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ und $g_{3}(0)=0$
d) $g_{4}(x)=\left[x^{2}\right]$.

Text erkannt:

a) $g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,3\}$ und $g_{1}(-2)=g_{1}(3)=0$,
b) $g_{2}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ und $g_{2}(0)=0$
c) $g_{3}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{x} \sin \frac{1}{x}$ für $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ und $g_{3}(0)=0$,
d) $\quad g_{4}(x)=\left[x^{2}\right]$.

Comments

a) Faktorisiere Zähler und Nenner.

Lässt sich eine Unstetigkeisstelle wegkürzen, handelt es sich eine hebbare Lücke.

d) x^(x/2) = e^(x/2*lnx)

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Wie faktorisiert man denn z.B. g₁ (x)? Ich habe es mit verschiedenen Techniken probiert und komme nicht auf das richtige Ergebnis. LG

Answer 1

a) $g_{1}(x)=\frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-x-6} = \frac{x+1}{x+2}$ für x≠3

und das gibt für x=3 den Wert 4/5 , also ist es mit $g_{1}(3)=0$

sozusagen "falsch" definiert, dort ist eine Unstetigkeitsstelle in

Form eines Sprungs.

Bei x=-2 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, die Def. $g_{1}(-2)$

führt also auch nicht zur "Aufhebung" der Unstetigkeit.

Bei b bedenke $\lim\limits_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$ also hat g₂ für x gegen 0

den Grenzwert 0, es ist eine stetige Funktion entstanden.

Auch bei g₃ ist es so, denn der 2.Faktor ist beschränkt.

Bei g₄ Sprungstellen bei allen x∈ℤ\{0}.

Comments

Hey mathef, danke für deine Antwort.

Wie kommst du auf den allerersten Schritt? Habe es mit Polynomdivision und PQ-Formel probiert, komme da aber nicht weiter. Wie kommst du auf die vereinfachte Form?

$\frac{x+1}{x+2}$? Von dort aus ist es ja super nachzuvollziehen. LG

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Zerlege Zähler und Nenner in

Linearfaktoren. Dann lässt sich einer kürzen.