Nach dem Binomischen Satz ist$$(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(\frac{1}{n})^k$$
Ich zeige, dass der \(k\)-te Summand \(\leq \frac{1}{k!}\) ist.
Das ist äquvalent zu$$\frac{n!}{(n-k)!n^k}\leq 1$$
Für die linke Seite können wir schreiben$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot (n-k+1)}{n^k}=\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\leq 1\cdot 1\cdots1 =1$$