Aloha :)
Für \(|q|<1\) ist \(q^2<1\) und die geometrischen Reihe liefert uns:
$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(q^2\right)^n=\frac{1}{1-q^2}$$Da diese Summe konvergiert, können wir das Integral über die Summe bilden, indem wir jeden Summanden integrieren:$$\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty q^{2n}\right)dq=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\int\limits_0^xq^{2n}\,dq\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left[\frac{q^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$Andererseits ist eine Stammfunktion von \(\frac1{1-x^2}\) bekanntlich \(\operatorname{arctanh}(x)\):$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\operatorname{arctanh}(x)$$
