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Von der gesuchten Funktionf(x)=x4+bx3−9x2+dxmüssen wir die Ableitung betrechnen:f′(x)=4x3+3bx2−18x+dDas ist sozusagen eine Beschreibung der Täterin.
Diese erste Ableitung muss eine doppelte Nullstelle bei x=−1 haben. Daher muss sie den quadratischen Faktor (x+1)2 enthalten. Das heißt, die erste Ableitung muss die folgende Form haben:f′(x)=(4x+a)(x+1)2Das ist eine andere Beschreibung der Täterin.
Als gute Ermittler multiplizieren wir die zweite Zeugenaussage aus:f′(x)=4x(x2+2x+1)+a(x2+2x+1)f′(x)=(4x3+8x2+4x)+(ax2+2ax+a)f′(x)=4x3+(8+a)x2+(4+2a)x+a
Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage liefert:4+2a=−18⟹a=−11
Damit haben wir die erste Ableitung gefunden:f′(x)=4x3−3x2−18x−11Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage führt uns auf3b=−3⟹b=−1;d=−11und damit schließlich zur Gesuchten:f(x)=x4−x3−9x2−11x
Plotlux öffnen f1(x) = x4-x3-9x2-11xP(-1|4)Zoom: x(-2…1) y(-10…10)