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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = x4 + bx3 - 9x2 + dx mit den Parametern b und d.

Für welche Parameterwerte hat die Funktion an der Stelle x = - 1 eine Sattelstelle?


Problem/Ansatz:

Ich habe schon die erste und zweite Ableitung berechnet, allerdings Probleme, die zweite Ableitung gleich 0 zusetzen (komme mit den beiden Parametern durcheinander).

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Niemand, der mir weiterhelfen kann?

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Von der gesuchten Funktionf(x)=x4+bx39x2+dxf(x)=x^4+bx^3-9x^2+dxmüssen wir die Ableitung betrechnen:f(x)=4x3+3bx218x+d\underline{f'(x)=4x^3+3bx^2-18x+d}Das ist sozusagen eine Beschreibung der Täterin.

Diese erste Ableitung muss eine doppelte Nullstelle bei x=1x=-1 haben. Daher muss sie den quadratischen Faktor (x+1)2(x+1)^2 enthalten. Das heißt, die erste Ableitung muss die folgende Form haben:f(x)=(4x+a)(x+1)2\underline{f'(x)=(4x+a)(x+1)^2}Das ist eine andere Beschreibung der Täterin.

Als gute Ermittler multiplizieren wir die zweite Zeugenaussage aus:f(x)=4x(x2+2x+1)+a(x2+2x+1)f'(x)=4x(x^2+2x+1)+a(x^2+2x+1)f(x)=(4x3+8x2+4x)+(ax2+2ax+a)f'(x)=(4x^3+8x^2+4x)+(ax^2+2ax+a)f(x)=4x3+(8+a)x2+(4+2a)x+af'(x)=4x^3+(8+a)x^2+(4+2a)x+a

Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage liefert:4+2a=18    a=114+2a=-18\implies a=-11

Damit haben wir die erste Ableitung gefunden:f(x)=4x33x218x11f'(x)=4x^3-3x^2-18x-11Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage führt uns auf3b=3    b=1;d=113b=-3\implies b=-1\quad;\quad d=-11und damit schließlich zur Gesuchten:f(x)=x4x39x211x\boxed{f(x)=x^4-x^3-9x^2-11x}

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f1(x) = x4-x3-9x2-11xP(-1|4)Zoom: x(-2…1) y(-10…10)


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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

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f(x)=x4+bx39x2+dxf(x)=x^4+bx^3-9x^2+dxf(x)=4x3+3bx218x+df^\prime(x)=4x^3+3bx^2-18x+df(x)=12x2+6bx18f^{\prime\prime}(x)=12x^2+6bx-18Es soll f(1)=f(1)=0f^\prime(-1)=f^{\prime\prime}(-1)=0 gelten, d.h.(1)3b+d+14=0(2)6b6=0.\quad(1)\quad3b+d+14=0\\\quad(2)\quad-6b-6=0.Aus der zweiten Gleichung folgt direkt b=1\underline{\underline{b=-1}}. Die erste Gleichung liefert damit d=11\underline{\underline{d=-11}}.

Nun noch f(1)0f^{\prime\prime\prime}(-1)\ne0 nachrechnen.

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f(1)=f(1)=0 f'(-1) = f''(-1) = 0 das ergibt ein Gleichungssystem für b b und d d .

Dann noch f(1)0 f'''(-1) \ne 0 für die gefundenen b b und d d kontrollieren.

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