Für welche Parameterwerte hat die Funktion an der Stelle x = - 1 eine Sattelstelle?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = x⁴ + bx³ - 9x² + dx mit den Parametern b und d.

Für welche Parameterwerte hat die Funktion an der Stelle x = - 1 eine Sattelstelle?

Problem/Ansatz:

Ich habe schon die erste und zweite Ableitung berechnet, allerdings Probleme, die zweite Ableitung gleich 0 zusetzen (komme mit den beiden Parametern durcheinander).

Comments

Niemand, der mir weiterhelfen kann?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Von der gesuchten Funktion$$f(x)=x^4+bx^3-9x^2+dx$$müssen wir die Ableitung betrechnen:$$\underline{f'(x)=4x^3+3bx^2-18x+d}$$Das ist sozusagen eine Beschreibung der Täterin.

Diese erste Ableitung muss eine doppelte Nullstelle bei \(x=-1\) haben. Daher muss sie den quadratischen Faktor \((x+1)^2\) enthalten. Das heißt, die erste Ableitung muss die folgende Form haben:$$\underline{f'(x)=(4x+a)(x+1)^2}$$Das ist eine andere Beschreibung der Täterin.

Als gute Ermittler multiplizieren wir die zweite Zeugenaussage aus:$$f'(x)=4x(x^2+2x+1)+a(x^2+2x+1)$$$$f'(x)=(4x^3+8x^2+4x)+(ax^2+2ax+a)$$$$f'(x)=4x^3+(8+a)x^2+(4+2a)x+a$$

Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage liefert:$$4+2a=-18\implies a=-11$$

Damit haben wir die erste Ableitung gefunden:$$f'(x)=4x^3-3x^2-18x-11$$Ein Vergleich mit der ersten Zeugenaussage führt uns auf$$3b=-3\implies b=-1\quad;\quad d=-11$$und damit schließlich zur Gesuchten:$$\boxed{f(x)=x^4-x^3-9x^2-11x}$$

~plot~ x^4-x^3-9x^2-11x ; {-1|4} ; [[-2|1|-10|10]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Answer 2

$$f(x)=x^4+bx^3-9x^2+dx$$$$f^\prime(x)=4x^3+3bx^2-18x+d$$$$f^{\prime\prime}(x)=12x^2+6bx-18$$Es soll \(f^\prime(-1)=f^{\prime\prime}(-1)=0\) gelten, d.h.$$\quad(1)\quad3b+d+14=0\\\quad(2)\quad-6b-6=0.$$Aus der zweiten Gleichung folgt direkt \(\underline{\underline{b=-1}}\). Die erste Gleichung liefert damit \(\underline{\underline{d=-11}}\).

Nun noch \(f^{\prime\prime\prime}(-1)\ne0\) nachrechnen.

Answer 3

$$ f'(-1) = f''(-1) = 0 $$ das ergibt ein Gleichungssystem für \( b \) und \( d \).

Dann noch \( f'''(-1) \ne 0 \) für die gefundenen \( b \) und \( d \) kontrollieren.