g-adische Entwicklung von (reellen) Zahlen

Question

Guten Abend, ich kämpfe seit einiger Zeit mit einer Übungsaufgabe und finde einfach keinen Ansatz, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen! Die Fragestellung lautet wie folgt:

Sei $$b \in \mathbb{N} \setminus 0,\: \: p \in \mathbb{N},\: \: a_k \: Folge \: mit \: \{0,...z-1\}, \: a_k=a_{k+p} \: für \: alle \:k \in \mathbb {N}$$

Zeige, dass

$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{z^k} = \frac{z^p}{z^{p-1}}\sum \limits_{k=1}^{p}\frac{a_k}{z^k}$$

Ich verstehe, dass es um die perodische g-adische Darstellung geht, aber mir fällt einfach kein Ansatz ein.

Für jede Hilfe bin ich dankbar! :)

Answer 1

Ich denke mal, dass die -1 nicht zum Exponenten gehört, also so

$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{z^k} = \frac{z^p}{z^{p}-1}\sum \limits_{k=1}^{p}\frac{a_k}{z^k}$$

Dann passt es doch mit der geometrischen Reihe.

Und es wird vielleicht verständlicher, wenn du erst mal mit p=3

konkretisierst. Dann sieht es so aus

$$ \frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\frac{a_3}{z^3}+\frac{a_4}{z^4}+\frac{a_5}{z^5}+\frac{a_6}{z^6}+\frac{a_7}{z^7}+\frac{a_8}{z^8}+\frac{a_9}{z^9}+\frac{a_{10}}{z^{10}}+..... $$und dann immer 3 zusammen betrachten und \(  \frac{1}{z^{3n}}\)ausklammern gibt $$ (\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\frac{a_3}{z^3})+\frac{1}{z^3}(\frac{a_4}{z}+\frac{a_5}{z^2}+\frac{a_6}{z^3})+\frac{1}{z^6}(\frac{a_7}{z}+\frac{a_8}{z^2}+\frac{a_9}{z^3})+\frac{1}{z^9}(\frac{a_{10}}{z}+...)..$$

Dann steht in den Klammern das, was im allg. Fall die 2. Summe ist, und wenn du die wiederum ausklammerst, bleibt nur noch

$$1+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^6}+\frac{1}{z^9}+....$$

und das gibt nach der Formel für die geom. Reihe

$$ \frac{z^p}{z^{p}-1}    $$

Comments

Ich danke dir, das hat mir sehr geholfen!