Aloha :)
Leider schmeißen die meisten Leerer nur mit Formeln um sich, ohne wirklich zu erklären, was sie eigentlich bedeuten. Du scheinst an so einen Leerer geraten zu sein.
Beim Newton-Verfahren startet man mit einer Schätzung \(x_0\) für die Nullstelle. Für diesen Punkt \(x_0\) berechnet man die Tangente an die Funktion \(f(x)\), das heißt$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$und prüft, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet. Dazu setzt man die Tangente gleich \(0\) und löst nach \(x\) auf:$$\left.f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(x_0)$$$$\left.f'(x_0)\cdot(x-x_0)=-f(x_0)\quad\right|\;:f'(x_0)$$$$\left.x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right|\;+x_0$$$$\left.x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right.$$Dieses \(x\) nimmt man als neuen Näherungswert für die Nullstelle. Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\text{Startwert}}$$
Im konkreten Fall musst du hier also die Ableitung deiner Funktion bilden:$$f(x)=7x+3\sin(x)-7\quad\implies\quad f'(x)=7+3\cos(x)$$um damit die Rekursionsgleichung aufzustellen:$$x_{n+1}=x_n-\frac{7x_n+3\sin(x_n)-7}{7+3\cos(x_n)}\quad;\quad x_0=1$$
Die gewünschte Genauigkeit wird bereits bei \(n=3\) erreicht:
$$\begin{array}{c|l}n= & x_n=\\\hline 0 & 1\\1 & \mathbf{0,7071}75477179938\\2 & \mathbf{0,7180}26518154966\\3 & \mathbf{0,7180}38963033648 \end{array}$$
