holomorphe Funktion für Z komplex konjugiert zum quadrat

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(4) Man zeige:
(a) Es gibt eine holomorphe Funktion \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C} \), so dass \( f(z)=\bar{z}^{2} \) für alle \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|=1 \).
(b) Es gibt keine holomorphe Funktion \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \), so dass \( f(z)=\bar{z}^{2} \) für alle \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|=1 \).

hallo,

kann uns jemand bei der Aufgabe helfen bitte? Wir haben bei der b schon versucht es äquivalent zu z komplex konjuguiert zu zeigen (mit hilfe des folgenkriteriums und das der Grenzwert nicht existiert) kommen damit aber nicht weiter...

LG

Answer 1

Zu (a):

\(|z|=1\Rightarrow |z|^2=z\bar{z}=1\), also

\(\bar{z}^2=\frac{1}{z^2}\) für \(|z|=1\).

Da jede rationale Funktion überall bis auf ihre Pole

holomorph ist, hat die Funktion \(f(z)=\frac{1}{z^2}\)

die geforderte Eigenschaft.

Zu (b):

Wegen des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen

https://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen

müsste die Funktion aus (a) die einzige Erweiterung von \(z\mapsto \bar{z}^2\)

von der Peripherie des Einheitskreises auf ganz \(\mathbb{C}\) sein.

Diese hat aber in \(z=0\) einen Pol.