Cauchyprodukt zweier Reihen bilden

Question

Es geht um die Aufgabe c, ist markiert.

Weiter komm ich momentan. Ich würde mich sehr freuen wenn jemand mir helfen könnte :)

Answer 1

Da die Reihen \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) und \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) absolut konvergent sind, ist es auch das Cauchyprodukt.

Den Grenzwert der ersten Reihe kann man mit der geometrischen Reihe berechnen und die zweite Reihe ist die e-Funktion an der Stelle \( x = -1 \)

Comments

Es geht hier aber um die Bildung von Cauchyprodukt. Danke trotzdem!

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Das Cauchyprodukt von zwei Reihen \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) und \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) ist die Reihe $$ \sum_{n=0}^\infty c_n $$ mit \( c_n= \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \) und es gilt $$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right)\cdot\left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right)=\sum_{n=0}^\infty c_n $$ wenn \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) und \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) absolut konvergieren. In das der Fall konvergiert auch \( \sum_{n=0}^\infty c_n \) absolut.

Die letzte Bedingung trifft hier zu, also konvergiert das Cauchyprodukt.

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Hi ullim,

Ich hab eine Frage bezüglich der Definition von Cauchyprodukt

Sei a_n und b_n  zwei konvergente Reihen.

Weiter sei der Startindex von a_n ungleich 0.

Wenn man das Cauchyprodukt dieser Reihen bildet, muss man mittels Indexverschiebung den Startindex von a_n auf 0 bringen?

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Ja genau, dass ist richtig.