Begründen Sie anschließend, warum aus diesen Teilresultaten ξ = σ bzw lim supn→∞xn = limn→∞sn

Question

Sei (x_n)_n∈N eine gegebene beschränkte Folge und sei (s_n)_n∈N definiert durch
s_n := sup⌈x_m : m ≥ n⌉= sup⌈x_n, x_n+1 x_n+2 , . . .⌉

Beweisen Sie nacheinander die folgenden Aussagen:
1. Die Folge (s_n)_n∈N ist beschränkt, monoton fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert σ ∈ R

2. Es gilt ξ ≤ σ für jeden Häufungspunkt ξ von (x_n)_n∈N

3. Für jedes beliebige ε > 0 gilt σ ≤ ξ + ε, wobei ξ der Limes superior von (x_n)_n∈N ist.
Begründen Sie anschließend, warum aus diesen Teilresultaten ξ = σ bzw.
lim sup_n→∞x_n = lim_n→∞s_n