Grenzwert mit der l‘hospital Regel bilden

Question

Aufgabe:

Wie bildet man hier den Grenzwert mit der l‘hospital Regel

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{x}= \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2 x)}{e^{3 x}}= \)

Answer 1

Hallo,

1. Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(x^{x}\right) \)

=\( \lim\limits_{x\to0} \) (\( e^{ ln(x^{x})} \))

=\( \lim\limits_{x\to0} \) (\( e^{x ln(x)} \))

 \( =e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0}(x \cdot \ln (x))} \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0}(x \cdot \ln (x)) \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\ln (x)}{1 / x}\right) \Rightarrow \frac{\infty}{\infty} \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}\right) \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0 \)
\( \Rightarrow e^{0}=1 \)
\( =1 \)

2. Aufgabe:

hier wird L'Hospital nicht benötigt, durch Einsetzen bekommst Du 0/1 =0

Answer 2

a) x^x = e^(x*lnx)

x*lnx = lnx/(1/x)

b) sin(2x)/e^(3x) = sin(0)/e^0 = 0 für x=0