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Aufgabe:

\( a_{n}:=1 \) für \( n \in \mathbb{N}_{0}, b_{0}:=-1, b_{n}:=2^{-n} \) für \( n \in \mathbb{N} \),

Untersuchen Sie jeweils, ob das Cauchyprodukt der Reihen \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) konvergiert und geben Sie gegebenenfalls den Reihenwert an.


Problem/Ansatz:

Wir haben bei dieser Aufgabe das Cauchy-Produkt ausgerechnet und bekommen als Resultat : \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} \)

Mit dem Quotientenkriterium kann man beweisen, dass das Cauchy-Produkt absolut konvergiert aber wie kann man jetzt den Reihenwert rausfinden?

Danke für eure Hilfe

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1 Antwort

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Hallo

du kannst es in geometrische Reihen zerlegen.

lul

Avatar von 108 k 🚀

Nabend,
ich sehe gerade nicht, wie man das tun soll.

multiplizier doch den Bruch mit (1/2)^n

(1/2)^2n=(1/4)^n

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