Wie kann ich zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist?

Question

Aufgabe:

f:ℝ→ {x∈ℝ | −1<x<1}, x↦ x/1+|x|
Problem/Ansatz:

Wie kann ich zeigen, dass die Abbildung bijetivität ist ?

vielen Dank im Voraus.

Comments

Du meinst wohl \(x\mapsto \frac{x}{1+|x|}\), oder?

Warum machst du dir nicht die Mühe, die Funktion eindeutig

und klar aufzuschreiben? Z.B. indem du Klammern setzt?

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wusste nicht wie man es eintippt :)

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Aber Punkt vor Strichrechnung ist dir ein Begriff?

Du hättest ja x/(1+|x|) schreiben können !

Ich habe mal in der Schule gelernt "Bruchstrich erfordert Klammer".

Answer 1

Es ist \(f(x)>0\) für \(x>0\), \(f(0)=0\) und \(f(x)<0\) für \(x<0\).

Daher kann man besonders gut eine übersichtliche Fallunterscheidung machen.

Ich deute das mal für den Nachweis der Injektivität an:

Ist \(x_1\lt0\) und \(x_2\gt 0\), dann ist auch \(f(x_1)\lt 0\) und \(f(x_2)\gt 0\).

Ferner ist \(f(x)=0\) einzig für \(x=0\).

Nun müssen wir noch die beiden Fälle \(x_1,x_2\lt 0\) und \(x_1,x_2\gt0\) untersuchen.

Als Beispiel nehme ich mal den ersten Fall: seien also \(x_1,x_2\lt 0\).

Dann haben wir:

\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow \frac{x_1}{1-x_1}=\frac{x_2}{1-x_2}\Rightarrow x_1(1-x_2)=x_2(1-x_1)\),

also \(x_1-x_1x_2=x_2-x_2x_1\Rightarrow x_1=x_2\) ...

Comments

vielen Lieben Dank:D

Answer 2

1. Zeige, dass die Abbildung surjektiv ist.
2. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.