Da die Polynome auch Funktionen von M nach ℝ ( mit Def.bereich M=ℝ) sind, ist die
Teilmengeneigenschaft ja klar.
Abgeschlossenheit gegenüber den Vektorraumoperationen
ist leicht zu zeigen:
Summe zweier Polynome ist ein Polynom und
reelle Zahl mal Polynom ist auch ein Polynom.
Bei den Monomen ist die lineare Unabhängigkeit
zu zeigen. Wenn also eine Linearkombination
von Monomen die 0-Funktion ergibt, also gilt
$$\sum \limits_{k=0}^{n} a_i \cdot x^{i}=0$$
für alle x∈ℝ. Dann zeige: Dann müssen alle ai gleich 0 sein.
Und wenn p(x) irgendein Polynom ist, dann kann man
es als Linearkombination von Monomen darstellen.
Also bilden diese auch ein Erzeugendensystem.