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Ich habe bei folgender Aufgabe das Problem, dass ich da nicht weiterkomme. Wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhilft.

Die Aufgabe:

F ist der ℝ-Vektorraum aller Funktionen F := {f : M → ℝ eine Funktion}.

a) Zeige, dass ℙN ein Untervektorraum von F ist.

b) Zeige, dass die Menge der Monome
MN := {ℝ → ℝ, x ↦ xn :n=0,....,N}
eine Basis von ℙN bildet.

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Da die Polynome auch Funktionen von M nach ℝ ( mit Def.bereich M=ℝ) sind, ist die

Teilmengeneigenschaft ja klar.

Abgeschlossenheit gegenüber den Vektorraumoperationen

ist leicht zu zeigen:

Summe zweier Polynome ist ein Polynom und

reelle Zahl mal Polynom ist auch ein Polynom.

Bei den Monomen ist die lineare Unabhängigkeit

zu zeigen. Wenn also eine Linearkombination

von Monomen die 0-Funktion ergibt, also gilt

$$\sum \limits_{k=0}^{n} a_i \cdot x^{i}=0$$

für alle x∈ℝ. Dann zeige: Dann müssen alle ai gleich 0 sein.

Und wenn p(x) irgendein Polynom ist, dann kann man

es als Linearkombination von Monomen darstellen.

Also bilden diese auch ein Erzeugendensystem.

Avatar von 289 k 🚀

Dankeschön :)

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