Zeige, dass ℙN ein Untervektorraum von F ist.

Question

Ich habe bei folgender Aufgabe das Problem, dass ich da nicht weiterkomme. Wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhilft.

Die Aufgabe:

F ist der ℝ-Vektorraum aller Funktionen F := {f : M → ℝ eine Funktion}.

a) Zeige, dass ℙ_N ein Untervektorraum von F ist.

b) Zeige, dass die Menge der Monome
M_N := {ℝ → ℝ, x ↦ xⁿ :n=0,....,N}
eine Basis von ℙ_N bildet.

Answer 1

Da die Polynome auch Funktionen von M nach ℝ ( mit Def.bereich M=ℝ) sind, ist die

Teilmengeneigenschaft ja klar.

Abgeschlossenheit gegenüber den Vektorraumoperationen

ist leicht zu zeigen:

Summe zweier Polynome ist ein Polynom und

reelle Zahl mal Polynom ist auch ein Polynom.

Bei den Monomen ist die lineare Unabhängigkeit

zu zeigen. Wenn also eine Linearkombination

von Monomen die 0-Funktion ergibt, also gilt

$$\sum \limits_{k=0}^{n} a_i \cdot x^{i}=0$$

für alle x∈ℝ. Dann zeige: Dann müssen alle a_i gleich 0 sein.

Und wenn p(x) irgendein Polynom ist, dann kann man

es als Linearkombination von Monomen darstellen.

Also bilden diese auch ein Erzeugendensystem.

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Dankeschön :)