Welche der Funktionen sind stetig auf ihrem gesamten Def. Bereich

Question

Welche der Funktionen sind stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich, welche nur auf einer Teilmenge (→ auf welcher)? Eine Begründung ist notwendig

f: ℝ→ℝ mit f(x) = \( \sqrt{|x|} \)

f₂: ℝ→ℝ mit f₂(x)= { x² fuer |x-4| <1

                         {2^x +1-3(x-3) > 1

(Anstatt 2 geschweifte Klammern soll es eine große sein, weiß jedoch nicht wie man eine große einfuegt)

f₃: ℝ\ {-1} →ℝ mit f₃(x)=\( \frac{3x}{x³+1} \)

Comments

Die Funktion f₂ ist für x ∈ {3,5} nicht definiert.

Answer 1

f ( x) = √ | x |
D = ℝ
Durch das Absolutzeichen werden negative
Werte in positive umgewandelt. Dem Wurzelziehen
steht dann nichts mehr im Weg.

ℝ \  {-1 } f₃(x)= 3x/(x³+1)
x^3 + 1 = 0 ausschließen
x = -1
ℝ \  {-1 } stimmt

Comments

Vielen Dank!

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Es ist nach Stetigkeit gefragt. Darüber sagt die Antwort nichts aus.

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Richtig bemerkt.

An der Nahtstelle der Funktion
x = 0
Ist
0(+) und 0(-) gleich = Stetigkeit

f2
x = -1 ist eine Polstelle
Innerhalb der Teibereiche
x <-1
Und
x > -1
ist die Funktion stetig
Da x = -1 aus der Def-Menge
herausgenommen wurde
gilt die Funktion als stetig

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f2 verwirrt mich etwas
1.Bereich
| x - 4 | < 1
x - 4 < 1
x < 5
( x - 4 ) * -1 >
-x + 4 > 1
4 - 1 > x
x > 3

3 < x < 5

2.Bereich
|x-4| > 1

x < 3
und
x > 5

              3                   5
<----------|----------------|------------->
Bereich 2  Bereich 1     Bereich 2

Zu prüfen ist ob die Teilfunktionen
bei x = 3 und x = 5 denselben
Funktionswert haben = gleich
sind / sprich stetig sind.

Bei Fragen bitte nachfragen.

Answer 2

f1:  bei x ≠ 0 überall stetig aufgrund der gängigen Sätze

(Stetigkeit von f(x)=x und von f(x)=-x und der Wurzelfunktion etc.)

Bei x=0 sind rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert 0

und Funktionswert auch 0, also auch dort ist f1 stetig.

f2 untere Zeile schlecht lesbar

f3 bei x ≠ -1  überall stetig aufgrund der gängigen Sätze

und bei x=-1 nicht definiert, also f3 auf

ganzem Def.bereich stetig.

Comments

f₂: ℝ→ℝ mit f₂(x)= { x² fuer |x-4| <1

                          {  2x +1-3(x-3) für |x-4| > 1

Entschuldigung.

Ist es jetzt besser lesbar?

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Tut mir Leid, für mich nicht erkennbar. Ist es

2x +1-3(x-3) =  2x +1-3x+9  = 10-x ?

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Ja richtig:-)