Es seien \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und \( f_{3}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) folgendermaßen definierte Abbildungen:
\( f_{1}: x \mapsto\left(1, x, x^{2}\right)^{\top}, \quad f_{2}:\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \mapsto\left(\sin \left(y_{1}\right)-\cos \left(y_{2}\right), \mathrm{e}^{y_{3}}\right)^{\top}, \quad f_{3}:\left(z_{1}, z_{2}\right) \mapsto z_{1} z_{2} \).
i) Begründen Sie kurz, dass jede der Abbildungen \( f_{1}, f_{2}, f_{3} \) auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar ist, und berechnen Sie jeweils die zugehörige Jacobi-Matrix.
ii) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1} \) total differenzierbar ist.
iii) Bestimmen Sie die Ableitung von \( f_{3} \circ f_{2} \circ f_{1} \) an beliebiger Stelle \( x \in \mathbb{R} \) mittels der mehrdimensionalen Kettenregel.
Aufgabe:
