Komplexe Zahl und ihre Konjugierte

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Beweisen Sie für eine komplexe Zahl z=e+f•i

und ihre Konjugierte z*.

a) (1/z)*= 1/z*

b) |z₁-z₂| = |z₂-z₁|

Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Es sei \(z=x+iy\) eine beliebige komplexe Zahl, dann gilt:

$$\left(\frac1z\right)^\ast=\left(\frac{1}{x+iy}\right)^\ast=\left(\frac{(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}\right)^\ast=\left(\frac{x-iy}{x^2+y^2}\right)^\ast=\frac{x+iy}{x^2+y^2}$$$$\phantom{\left(\frac1z\right)^\ast}=\frac{(x+iy)}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{1}{x-iy}=\frac{1}{z^\ast}$$

Für zwei komplexe Zahlen \(z_1=x_1+iy_1\) und \(z_2=x_2+iy_2\) gilt:$$|z_1-z_2|=|(x_1+iy_1)-(x_2+iy_2)|=|(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)|$$$$\phantom{|z_1-z_2|}=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$$$\phantom{|z_1-z_2|}=|(x_2-x_1)+i(y_2-y_1)|=|(x_2+iy_2)-(x_1+iy_1)|=|z_2-z_1|$$