Question

Berechne den Reihenwert von: (n+1)/(3^n)

Comments

Ps.: von n=0 bis unendlich

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Teilsummen bilden:

n/3^n

1/3^n

Σ 1/3^n = 1/(1-1/3) = 3/2

Σ n/3^n = 3/4

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Wie genau bist du auf die 3/4 gekommen?

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$$\sum_{n=1}^\infty nq^n=\sum_{n=0}^\infty(n+1)q^{n+1}=q\cdot\sum_{n=0}^\infty(n+1)q^n=q\cdot\sum_{n=1}^\infty nq^n+q\cdot\sum_{n=0}^\infty q^n\\\Longrightarrow(1-q)\cdot\sum_{n=1}^\infty nq^n=\frac q{1-q}.$$

Answer 1

Es ist \((x^{n+1})'=(n+1)x^n\), Ferner haben wir \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}\)

für \(|x|\lt 1\), also auch \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\frac{x}{1-x}\).

Leite diese Gleichung ab, indem du die Reihe summandenweise

ableitest. Zum Schluss setze \(1/3\) für \(x\) ein.