Question

Integral von  1/(sin^2(x)cos^2(x)) 

Problem/Ansatz:

wie soll ich das umformen und danach rechnen ?

Answer 1

\(\frac{1}{\sin^2(x)\cos^2(x)}=\frac{4}{\sin^2(2x)}\)

Eine Stammfunktion von \(\frac{4}{\sin^2(2x)}\) ist \(-2\cot(2x)\),

wie man durch Differenzieren leicht nachprüfen kann.

Comments

wie kommt man den auf die \( \frac{4}{sin^2(2x)} \)

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\(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\)

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Warum dann nicht gleich
"Eine gesuchte Stammfunktion ist sin(x) / cos(x)  - cos(x) / sin(x)    wie man durch Differenzieren leicht nachprüfen kann. "

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okay dankeeschön

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Auch ein geschlungener Weg führt bisweilen nach Rom ;-)

Answer 2

Hallo,

∫1/(sin^2(x)cos^2(x))dx

sin^2(x) +cos^2(x)=1

------>

=∫((sin^2(x) +cos^2(x))/(sin^2(x)cos^2(x))) dx

= ∫ (1/cos^2(x)) dx +∫ (1/sin^2(x)) dx ->sind beides Standardintegrale

siehe hier:

http://www2.hs-esslingen.de/~mohr/mathematik/me2/Integraltabelle.pdf

= tan(x) -cot(x) +C

Answer 3

Aloha :)

Du kannst den Integranden mit der Quotientenregel für die Ableitung und dem trigonometrischen Pythagoras \((\sin^2x+\cos^2x=1)\) umformen:

$$\frac{1}{\sin^2\cos^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\sin^2x\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}$$$$\phantom{\frac{1}{\sin^2\cos^2x}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}$$$$\phantom{\frac{1}{\sin^2\cos^2x}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}-\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}$$$$\phantom{\frac{1}{\sin^2\cos^2x}}=\frac{(\sin x)'\cdot\cos x-\sin x\cdot(\cos x)'}{(\cos x)^2}-\frac{(\cos x)'\cdot\sin x-\cos x\cdot(\sin x)'}{(\sin x)^2}$$$$\phantom{\frac{1}{\sin^2\cos^2x}}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'-\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=\left(\tan x\right)'-\left(\cot x\right)'$$

Nach dem 1-ten Hauptsatz der Differential und Integralrechnung ist daher:$$\int\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}\,dx=\tan x-\cot x+\text{const}$$