Zeigen Sie: rgs A + rgs (E − A) = n, wobei E ∈ Kn×n die Einheitsmatrix bezeichnet.

Question

Aufgabe:

Sei \(n\in \mathbb{N}\) und \(A\in \mathbb{K}^{n\times n}\) eine Matrix mit \(A^2=A\).

Zeigen Sie: \(rg_s(A)+rg_s(E − A) = n\), wobei \(E\in \mathbb{K}^{n\times n}\) die Einheitsmatrix bezeichnet.

Answer 1

Hallo :-)

Nutze aus, dass für alle Matrizen \(A\in \mathbb{K}^{m,n}, B\in \mathbb{K}^{n,k}\) stets

\(rg_s(A)+rg_s(B)-n\leq rg_s(A\cdot B)\)

und für alle \(U,T\in \mathbb{K}^{m,n}\) stets

\(rg_s(U+T)\leq rg_s(U)+rg_s(T)\)

gilt.

Zeige damit die beiden Ungleichungen:

\(rg_s(A)+rg_s(E − A) \leq n\) und \(n\leq rg_s(A)+rg_s(E − A)\).

Comments

dankeschön^^