Aufgabe:
Symmetrische Mehrschrittverfahren.
Gegeben sei das Anfangswertproblem \( y^{\prime}=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0} . \) Ein lineares \( k \)-SchrittVerfahren
\( \sum \limits_{\ell=0}^{k} \alpha_{\ell} y_{i+\ell}=h \sum \limits_{\ell=0}^{k} \beta_{\ell} f\left(x_{i+\ell}, y_{i+\ell}\right) \) \( (M) \)
heißt symmetrisch, wenn gilt
\( \alpha_{\ell}=-\alpha_{k-\ell} \quad \text { und } \quad \beta_{\ell}=\beta_{k-\ell} \quad \text { für } \quad \ell=0,1, \ldots, k \text {. } \)
Es bezeichne \( p(\lambda) \) das charakteristische Polynom zu \( (M) \).
a) Geben Sie ein Beispiel für ein symmetrisches Mehrschrittverfahren (mit \( k \geq 2 \) ) an, das in der Vorlesung oder der Übung auftrat.
b) Zeigen Sie, dass \( p(\lambda)=-\lambda^{k} p\left(\frac{1}{\lambda}\right) \) für \( \lambda \neq 0 \) gilt.
c) Zeigen Sie, dass für stabile, symmetrische Mehrschrittverfahren die Nullstellen von \( p \) auf dem Einheitskreis liegen.
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus!
