Vollständige Induktion zu 5|(11n-6)

Question

Hallo, ich hätte mal eine Frage, wie macht man zu folgender Aussage eine vollständige Induktion:

5|(11ⁿ-6)

n sind Elemente der nat. Zahlen.

Danke für alle Antworten!

Answer 1

5|(11ⁿ-6), dann auch 5|(11ⁿ-1). Dies als Kongruenz geschrieben:

11ⁿ≡1 mod 5

⇒11ⁿ·11≡11 mod 5 oder 5|(11ⁿ⁺¹-11), dann auch 5|(11ⁿ⁺¹-6).

Comments

Und wie würde ich das als Induktionsanfang7Induktionsschritt und -ende anschreiben?

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Induktionsanfang: Für n=1 ist 11¹-6=5 offensichtlich durch 5 teilbar.

Induktionsschritt : steht in meiner Antwort.

-ende: Wenn die Aussage 5|(11n-6) gilt, dann gilt sie auch für jeden Nachfolger n+1 von n insbesondere für jeden Nachfolger von 5, also für alle natürlichen Zahlen.

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Achso, das heißt x|y heißt das y immer durch x teilen ginge. Ich frag nur für nachfolgende Aufgaben

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Ja, der senkrechte Strich | wird 'teilt' gelesen.

Answer 2

1. Induktionsvoraussetzung (IV): \(11^n=5k+6\) mit einer ganzen Zahl \(k\).

Induktionsschritt (IS):$$11^{n+1}\stackrel{(IV)}{=} (5k+6)\cdot 11=55k+66=5(11k+12)+6$$

also \(11^{n+1}-6=5(11k+12)\).

2. Außer Konkurrenz hier noch ein ganz anderer Beweis mit

dem Binomischen Satz (keine Induktion, sondern direkt):

\(11^n-6=(10+1)^n-6=5\cdot(2\sum_{k=1}^n{n \choose k}10^{k-1}-1)\).

3. Mit Kongruenzen mod 5 geht es am einfachsten direkt.