Vollständige Induktion n! - n^4 ≥ n^2 - 11n

Question

Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion:

Für alle n ≥ 7 gilt: n! - n^4 ≥ n^2 - 11n

Problem/Ansatz:

Ich stehe hier komplett auf dem Schlauch. Mir fallen keine passenden Umformungen ein, um den Induktionsschritt zu bewältigen.

Answer 1

Dividiere die IV durch n:

(*) (n-1)!-n³≥n-11

Beweise diese zur IV äquivalente Gleichung durch vollst. Ind. Dann lautet die IB;

(n+1-1)!-(n+1)³≥n+1-11 oder n!-(n³+3n²+3n+1)≥n-10 oder

(**) n(n-1)!-n³-(3n²+3n+1)≥n- 10

Subtrahiere (**) - (*):

(n-1)(n-1)! - (3n²+4n+1)≥n+1 oder (n-1)(n-1)! ≥3n²+4n+2

und nach Division durch (n-1)

(n-1)!≥3n+7+\( \frac{9}{n-1} \)

Für n=6 gilt dann: 120≥26,8

Für größere n wird der Bruch kleiner und es bleibt zu zeigen

(n-1)!≥3n+7

Zeige dies durch vollst. Ind.

Comments

Die Frage ist auch hier: Wie komme ich auf einen Ansatz?

Welche Vorüberlegungen sind anzustellen?

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Subtrahiere (**) - (*):

Das darf man ohne nähere Begründung der Zulässigkeit bei Ungleichungen nicht so ohne weiteres.

Aus a> b und c > d folgt nicht zwangsläufig a-c > b-d.

Gegenbeispiel: 5>1 und 6 > 0, aber 5-6<1-0.

Answer 2

Wie Roland gesagt hat, muss \((n-1)!-n^3-n+11 \geq 0\)

für \(n\geq 7\) gezeigt werden.

Als Alternative zur vollsttändigen Induktion gehe ich so vor:

\((n-1)!-n^3-n+11\geq \)

\((n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)-n^3-n+11\geq \)

\(6(n-1)(n-2)(n-3)-n^3-n+11=\)

\(=5n^3-36n^2+65n-25=\)

\(5n(n^2+13)-(36n^2+25)\geq 0\).

Denn dies gilt für \(n=7\) und für \(n\geq 8\) ist

\(5n(n^2+13)-36n^2-25\geq 40(n^2+13)-36n^2-25=\)

\(=4n^2+(40\cdot 13-25)\geq 0\).