Aloha :)
Du hast hier ein übebestimmtes Gleichungssystem, d.h. mehr Gleichungen als Variablen:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 6 & 36\\1 & 12 & 144\\1 & 15 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}63\\104\\139\\129\end{pmatrix}$$Diese kannst du im Sinne der Gauß'schen kleinsten Quadrate lösen, indem du von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizierst.:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 6 & 12 & 15\\9 & 36 & 144 & 225\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 6 & 36\\1 & 12 & 144\\1 & 15 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 6 & 12 & 15\\9 & 36 & 144 & 225\end{array}\right)\begin{pmatrix}63\\104\\139\\129\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 36 & 414\\36 & 414 & 5346\\414 & 5346 & 72738\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}435\\4416\\53352\end{pmatrix}$$Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\frac{1}{90}\begin{pmatrix}306\\2031\\-85\end{pmatrix}$$
Die Flugbahn wird also am besten beschrieben durch:$$y(x)=\frac{1}{90}\left(306+2031x-85x^2\right)$$
~plot~ {3|63} ; {6|104} ; {12|139} ; {15|129} ; (306+2031x-85x^2)/90 ; [[-1|26|0|140]] ~plot~
Nach \(x=22\) Metern beträgt die Höhe \(y(22)=\frac{1924}{45}\approx42,76\) Meter.
Die zweite Nullstelle der Parabel liegt bei \(x\approx24,04\) Meter, also trifft die Kugel dort auf den Boden auf.
