Finden Sie das kleinste b ∈ ℕ mit f(n) ∈ O(n^{b}) und begründen Sie die Antwort.

Question

Aufgabe:

Finden Sie das kleinste \( b \in \mathbb{N} \) mit \( f(n) \in O\left(n^{b}\right) \) und begründen Sie die Antwort.
(a) \( f(n)=n|\cos n|+4 \sqrt{n} \)

Problem:
Ich hab am Anfang die Definition benutzt und die ergibt:
(∃ c >0) f(n) ≤ c\( n^{b} \), und am Ende bin ich zu dieser Ungleichung gekommen.

b ≥ ln( \( \frac{n|cosn|+4\sqrt{n}}{c} \) - n) , dann habe ich es für n= 1 gerechnet, das ergibt:

b ≥ ln( \( \frac{cos1+4}{c} \)-1), dann habe ich gesagt, dass für das kleinste b, soll \( \frac{cos1+4}{c} \)-1 = 1 und hab den Wert von c gerechnet, aber bin nicht sicher ob das richtig ist, da c eine Konstante ist.

Kann jemand bitte mir sagen, was ich in die Aufgabe machen soll? Wäre sehr dankbar

Answer 1

Es ist \( b=1 \) da für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\(\begin{aligned} \begin{array}{l} n|\cos (n)|+4 \sqrt{n} \leq n+4 n=5 n \\ n|\cos (n)|+4 \sqrt{n} \geq n \end{array}\end{aligned} \)
\( \operatorname{da} 0 \leq|\cos (n)| \leq 1 \) und \(0\le \sqrt{n}\le n\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Comments

Ich danke dir!