Aloha :)
Du hast hier ein übebestimmtes Gleichungssystem, d.h. mehr Gleichungen als Variablen:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 4 & 16\\1 & 9 & 81\\1 & 16 & 256\\1 & 19 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}92\\173\\208\\208\end{pmatrix}$$
Solche Gleichungssysteme sind in der Regel nicht perfekt lösbar, das heißt die Messpunkte liegen nicht perfekt auf der theoretisch ermittelten Funktion. Trotzdem kann man die Funktionsparameter so bestimmen, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen minimal wird (Gauß'sche Methode der kleinsten Quadrate). Dazu musst du von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizieren:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\4 & 9 & 16 & 19\\16 & 81 & 256 & 361\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 4 & 16\\1 & 9 & 81\\1 & 16 & 256\\1 & 19 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\4 & 9 & 16 & 19\\16 & 81 & 256 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}92\\173\\208\\208\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 48 & 714\\48 & 714 & 11748\\714 & 11748 & 202674\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}681\\9205\\143821\end{pmatrix}$$Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,8111\\25,7312\\-0,7918\end{pmatrix}$$
Die Flugbahn wird also am besten beschrieben durch:$$y(x)=2,8111+25,7312\cdot x-0,7818\cdot x^2$$
~plot~ {4|92} ; {9|173} ; {16|208} ; {19|208} ; 2,8111+25,7312*x-0,7818*x^2 ; [[-1|36|0|220]] ~plot~
Nach \(x=27\) Metern beträgt die Höhe \(y(27)\approx127,62\) Meter.
Die zweite Nullstelle der Parabel liegt bei \(x\approx33,02\) Meter, also trifft die Kugel dort auf den Boden auf.
