Aufgabe:
Untersuche, ob die Folgen
(a) \( \left(\frac{4 n^{2}+1}{9 n^{2}-n+3}\right) \),
konvergent sind, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
das ist meine Idee:
\( a_{n}=\frac{4 n^{2}+1}{3 n^{2}-n+3} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}\left(4+\frac{1}{n^{2}}\right)}{\left(9-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}}\right)}=\frac{4}{9} \)
\( \left|\frac{4 n^{2}+1}{9 n^{2}-n+3}-\frac{4}{9}\right| \)
\( =\left|\frac{4 n-3}{9\left(9 n^{2}-n+3\right)}\right| \)
\( =\frac{|4 n-3|}{9\left(9 n^{2}-n+3\right)} ! < epsilon \)
\( \leqslant \frac{4 n+3}{9\left(9 n^{2}-n+3\right)} \)
\( =\frac{4 n+3}{81 n^{2}-9 n+27} \)
aber wie kann ich weiter machen??
