Grenzwerte mit Definition beweisen

Question

Aufgabe:

6.3. Zeige mit der Definition der Grenzwertes (ohne Verwendung von , Rechenregeln"), dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3}+3 n}{4 n^{3}-5}=\frac{1}{4} \) ist.

Problem/Ansatz:

wie kann ich das machen ???

Answer 1

Wenn du x durch ∞ ersetzt kommst du auf: \( \frac{∞}{∞} \) was nicht lösbar ist. In diesem Fall besagt die Regel, dass du die Werte mit der höchsten Exponentzahl nimmst. In deinem Fall \( \lim\limits_{n\to\infty} \)  \( \frac{n^3}{4 n^3} \). Dies kannst du kürzen.

So kommst du auf \( \frac{1}{4} \)

Comments

Sollte man Eventuell den Aufgabentext lesen, bevor man eine "Antwort" schreibt?

Answer 2

Nach Definition des Grenzwertes muss man zeigen,

dass für beliebiges \(\epsilon>0\) gilt

\(|\frac{n^3+3n}{4n^3-5}-\frac{1}{4}|<\epsilon\) für fast alle \(n\),

also \(a_n:=|\frac{12n+5}{16n^2-20}|\lt \epsilon\) für fast alle \(n\).

Man kann leicht zeigen, dass z.B. für \(n\gt 10\) gilt

\(a_n\lt\frac{1}{n^2}\). Dies ist \(\lt \epsilon\) für alle \(n\gt\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\)

Answer 3

Aloha :)

Du sollst mit Hilfe der Definition des Grenzwertes zeigen, dass$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac14\quad;\quad a_n=\frac{n^3+3n}{4n^3-5}$$Dazu schätzen wir zunächst den folgenden Ausdruck nach oben ab:$$\left|a_n-\frac14\right|=\left|\frac{n^3+3n}{4n^3-5}-\frac14\right|=\left|\frac{4(n^3+3n)}{4(4n^3-5)}-\frac{4n^3-5}{4(4n^3-5)}\right|$$$$\phantom{\left|a_n-\frac14\right|}=\left|\frac{(4n^3+12n)-(4n^3-5)}{4(4n^3-5)}\right|=\left|\frac{12n+5}{16n^3-20}\right|$$$$\phantom{\left|a_n-\frac14\right|}\stackrel{(n\ge2)}{=}\frac{12n+5}{16n^3-20}=\frac1n\cdot\frac{12n^2+5n}{16n^3-20}\stackrel{(\ast)}{<}\frac1n$$Für \(n=1\) ist der Ausdruck zwischen den Betragszeichen negativ. Da wir am Grenzwert \(n\to\infty\) interessiert sind, konnten wir den Fall \(n=1\) explizit ausschließen und für die weitere Rechnung \(n\ge2\) voraussetzen. Für \(n\ge2\) ist aber auch \(12n^2+5n<16n^3-20\), sodass der rechte Bruch im Schritt \((\ast)\) kleiner als \(1\) ist.

Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig, gilt mit \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac1\varepsilon\right\rceil\) für alle \(n\ge n_0\) :$$\left|a_n-\frac14\right|<\frac1n\le\frac1{n_0}=\varepsilon$$Für jedes \(\varepsilon>0\) gilt also \(|a_n-\frac14|<\varepsilon\) für fast alle \(n\). ( "für fast alle \(n\)" heißt, für alle \(n\) ab einem bestimmten \(n_0\) ) Daher konvergiert \((a_n)\) gegen \(\frac14\).

Comments

achh soo aber warum genau < 1/n ????

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Es muss \(|a_n-a|<\varepsilon\) für fast alle \(n\in\mathbb N\) gelten. Daher ist es egal, welches \(n_0\) du als untere Grenze angibst, Hauptsache du findest eins.

Die Abshätzung \(<\frac1n\) reicht hier völlig aus. Man könnte hier auch \(<\frac1{n^2}\) abschätzen (vgl. Antwort von ermanus). Die Erkenntnis ist dieselbe.