a) Sei (an)n ∈N eine reelle Nullfolge mit an ≥ -1 für alle n ∈ N. Zeigen Sie mithilfe der Definition der
Konvergenz, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt{1+ an} \) = 1 erfüllt ist.
Also die Aufgabe an sich ist ja eigentlich dumm, weil {an} strebt ja gegen 0 (Nullfolge) für limes gegen unendlich und somit ist klar, dass der Grenzwert 1 sein wird, aber wie schreibt man das schön bzw. unter Verwendung der Definition der Konvergenz auf ? Man hat ja aufjeden Fall ein ε>0 und startet mit | bn - b | < ε also hat man ja | \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt{1+ an} \) -1 | ? Aber wie gehts weiter ? Das limes gehört auch nicht in den Betrag glaub ich, aber meine Idee wäre, dass einfach die ganze Ungleichung quadriert wird, sodass sich am ende die 1er aufheben und nur noch die an Folge steht. Diese lässt man dann mit dem limes gegen unedlich laufen und dann wäre der Grenzwert die 0 und die Aussage gezeigt ? Stimmt die Grundidee und kann mir wenn ja, kann mir wer zeigen wie man es hinschreibt ?
b) Ähnliches Problem. Die Aufgabe lautet "zeigen Sie, dass ...." . Es geht um eine Folge xn mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)( {xn} ) = a > 0 und man soll zeigen dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \)\( \sqrt[n]{{xn}} \) = 1 gilt. Rechnerisch ist ja klar, dass wenn man das umschreibt zu \( x^{1/n} \), dann strebt 1/n gegen 0 und das heißt dass die Folge gegen 1 konvergiert, da jede Zahl außer 0 selbst hoch 0 eins ergibt ( 0 ist ja durch a>0 eh ausgeschlossen). Meine Frage ist jetzt, ob das jetzt als gezeigt gilt oder ob ich es wieder mit der definiton machen muss ? Ich wäre um jegliche Hilfe dankbar
