Aloha :)
Der Mittelwert \(\overline x\) ist ein Näherungswert für den Erwartungswert \(\mu\) und unterliegt daher einer Ungenauigkeit. Die Standardabweichung \(\sigma\) ist die Ungenauigkeit der Einzelmessung. Daraus folgt mit Hilfe des Gauß'schen Fehlerfortplanzungsgesetzes der Fehler \(\Delta\overline x\) des Mittelwertes \(\overline x\):$$\overline x=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$$$(\Delta \overline x)^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\sigma\right)^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{n}\sigma\right)^2=\frac{\sigma^2}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n1=\frac{\sigma^2}{n^2}\,n=\frac{\sigma^2}{n}\;\Rightarrow\;\underline{\Delta\overline x=\frac{\sigma}{\sqrt n}}$$Um den Fehler des Mittelwertes auf \(3\,m/s\) zu drücken, muss \(n\) so gewählt weden, dass:$$3\,\frac{m}{s}=\Delta\overline x=\frac{10\,\frac{m}{s}}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad\sqrt n=\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad n=\frac{100}{9}\approx11,1$$Es sind also mindestens \(n=12\) Messungen nötig.
Will man die Ungenauigkeit des Mittelwertes sogar unter \(0,5\,m/s\) drücken, wirds aufwändig:$$\sqrt n=\frac{10\,\frac{m}{s}}{0,5\,\frac{m}{s}}=20\quad\Rightarrow\quad n=400$$Dann sind \(n=400\) Messungen nötig.
