Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung, elektrotechnisches Beispiel

Question

Aufgabe:

Zwei Ohmsche Widerstände werden hintereinander geschaltet. Die Werte R₁ und R₂ für diese Widerstände seien unabhängig und normalverteilt mit

μ₁ = 500 Ω und σ₁ = 10 Ω
μ₂ = 200 Ω und σ₂ = 40 Ω.

Welcher Statistik gehorcht der Gesamtwiderstand R1 + R2, wie groß sind deren Mittelwert und Standardabweichung?
In welchen Grenzen 700 - μ~ und 700 + μ~ liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% der Gesamtwiderstand?

Answer 1

Aloha :)

Die Summe von zwei unabhängigen Normalverteilungen \((\mu_1;\sigma_1)\) und \((\mu_2;\sigma_2)\) ist wieder eine Normalverteilung, wobei sich die Mittelwerte und die Varianzen summieren:$$\mu=\mu_1+\mu_2=700\,\Omega$$$$\sigma=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}=\sqrt{10^2\,\Omega^2+40^2\,\Omega^2}=\sqrt{1700\,\Omega^2}\approx41,23\,\Omega$$

Bei einer Normalverteilung weichen 99% aller Werte um höchstens \(2,575829\,\sigma\) vom Erwartungswert ab:$$\tilde\mu\approx2,575829\cdot\sqrt{1700\,\Omega^2}\approx106\,\Omega$$Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(99\%\) gilt also für den Gesamtwiderstand:$$594\,\Omega\le\mu\le806\,\Omega$$

Comments

Super danke!