Lineare Hülle von zwei Vektoren berechnen bzw. untersuchen

Question

Hallo liebe Mitglieder :)

Es geht um die lineare Hülle:

Vier Vektoren: a = $\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ , b = $\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix}$ , c = $\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ , d = $\begin{pmatrix} 3\\8\\5 \end{pmatrix}$

Die Frage lautet:  Zeige, dass   lin{a,b}  =  lin{c,d}

Eigentlich dachte ich die lineare Hülle sei wie folgt lin{a,b} = {α·$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$ , β·$\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix}$ | α,β ∈ ℝ}

aber dies ergibt hier ja keinen Sinn, bzw. wäre ja nur eine andere Schreibweise. Hier fehlt mir der richtige Lösungsweg...

Freue mich über Hilfe bzw. eine Lösung.

Vielen Dank vorweg!

Answer 1

Du bist schon auf dem richtigen Weg, du musst nur zeigen dass es zu jedem  α,β, ein  r,s gibt mit

α*a+β*b2=r*c+s*d

dann haben bide dieselbe lineare Hülle.

Comments

Also im Prinzip ein Gleichungssystem erstellen (nehme jetzt mal t und u anstelle α und β):

t+u = c+ 3d

2t+3u = c+8d

t+2u = 5d

und dann alle Variablen berechnen?

Und vielen Dank für die Antwort :)

---

Hallo

wenn du damit die Komponenten der Vektoren geschrieben hast ist es richtig ,  ich muss dafür Imme hin und her skrollen. die erste Gl hab ich überprüft.  Denk dran, t,u  gibt es daraus muss sich r,s ergeben

lul

---

Hallo lul,

den ganzen Vormittag versuche ich nun dieses GLS sinnvoll zu lösen, aber komme auf kein Ergebnis. Ich bekomme die Variablen nicht richtig ausgerechnet, ich denke mir fehlt es auch an Verständnis zur linearen Hülle, bisher hat zusätzliche Literatur auch nicht geholfen. Meist finde ich hier im Forum bessere Erklärungen als in jeder Literatur. Darf ich nochmals um deine Hilfe für den Lösungsweg bitten?

Vielen Dank im voraus!

---

Hallo

die lineare Hülle sagt ja, du kannst alle Vektoren des UVR aus den Vektoren linear kombinieren, die Behauptung ist nun, dass du denselben UVR aus den jeweils 2 Vektoren kombinieren kannst.

du hast das richtige GS hingeschrieben. wenn du von I) von II)  abziehst ergibt sich III.

deshalb kannst du dann die ersten 2 ohne Widerspruch zur dritten auflösen, hast also d=1/5(t+2u) und c=1/5*(2t-u)

damit ist gezeigt, dass du zu jeder Linearkombination aus a und  b denselben Vektor aus c und d linear kombinieren kannst,

jetzt klar?

lul

---

Hallo lul,

nochmals vielen Dank für die Zeit, ich denke ich habe es verstanden. Bisher hatte ich versucht zwei formale Ergebnisse auszurechnen, welche gleich sind. Aber jetzt habe ich die Gleichheit der Linearkombination gezeigt, ohne Widerspruch.

Hoffe das habe ich so richtig verstanden :)

Vielen Dank und einen schönen Tag!