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Aufgabe:

1) Stellen Sie eine Rekursionsformel des folgenden Binomialkoeffizienten auf.

\( \binom{n-1}{k-1} \)


2) Benutzen Sie Ihre Rekursionsgleichung aus 1) um P(5, 3) zu berechnen.

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Es gilt:

(n-1)! = n!/n

(k-1)! = k!/k

Gast2016, nachdem ich den Binomialkoeffizienten umgeformt habe, komme ich nicht weiter.. also von Binomialkoeffizienten zu Rekursionsformel ist mir ein Rätsel

ist dann die Rekursionsformel so: (n-1 über k-1) = (n über k) - (n-1 über k)

Zu 1.: Ist das wirklich der genaue Originalaufgabentext?
Kommt mir seltsam vor !

ermanus, ja es ist

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Aloha :)

zu 1) Aufstellen der Rekursionsformel:$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)!}^{=n!}}{\underbrace{k\cdot(k-1)!}_{=k!}\cdot\underbrace{(n-1-k+1)}_{=n-k}}$$$$\phantom{\binom{n}{k}}=\frac nk\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(\;(n-1)-(k-1)\;)!}=\frac nk\cdot\binom{n-1}{k-1}$$Da wir für eine Rekrusion immer auch eine Abbruchbedingung benötigen, würde ich der Vollständigkeit halber als Lösung angeben:$$\binom{n}{k}=\frac nk\cdot\binom{n-1}{k-1}\quad;\quad\binom{m}{0}=1\quad\text{für }m\in\mathbb N_0$$

zu 2) Anwendung der Rekursionsformel:

$$\binom{5}{3}=\frac53\cdot\binom{4}{2}=\frac53\cdot\frac42\cdot\binom{3}{1}=\frac53\cdot\frac42\cdot\frac31\cdot\binom{2}{0}=\frac{5}{\cancel3}\cdot\frac{{^2}\cancel{4}}{\cancel2}\cdot\frac{\cancel3}{1}\cdot1=10$$

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