Aloha :)
zu 1) Aufstellen der Rekursionsformel:$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)!}^{=n!}}{\underbrace{k\cdot(k-1)!}_{=k!}\cdot\underbrace{(n-1-k+1)}_{=n-k}}$$$$\phantom{\binom{n}{k}}=\frac nk\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(\;(n-1)-(k-1)\;)!}=\frac nk\cdot\binom{n-1}{k-1}$$Da wir für eine Rekrusion immer auch eine Abbruchbedingung benötigen, würde ich der Vollständigkeit halber als Lösung angeben:$$\binom{n}{k}=\frac nk\cdot\binom{n-1}{k-1}\quad;\quad\binom{m}{0}=1\quad\text{für }m\in\mathbb N_0$$
zu 2) Anwendung der Rekursionsformel:
$$\binom{5}{3}=\frac53\cdot\binom{4}{2}=\frac53\cdot\frac42\cdot\binom{3}{1}=\frac53\cdot\frac42\cdot\frac31\cdot\binom{2}{0}=\frac{5}{\cancel3}\cdot\frac{{^2}\cancel{4}}{\cancel2}\cdot\frac{\cancel3}{1}\cdot1=10$$
