Aufgabe:
Sei \( M \subset \mathbb{N} \) eine nichtleere Teilmenge und betrachten Sie eine Abbildung \( M \rightarrow \mathbb{C}, n \mapsto z_{n} \). Falls \( M=\left\{n_{1}, \ldots, n_{m}\right\} \) endlich ist, bezeichnet man
\(\sum \limits_{n \in M} z_{n}=\sum \limits_{k=1}^{m} z_{n_{k}},\)
falls unendlich,
\(\sum \limits_{n \in M} z_{n}=\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n \in M_{N}} z_{n}, \quad \text { wobei } M_{N}=\{n \in M: n \leq N\}\)
Sei jetzt \( M=\left\{2^{k} 5^{l}: k, l \in \mathbb{N}_{0}\right\}=\{1,2,4,5,8,10,16, \ldots\} \) die Menge aller natülichen Zahlen, die durch keine andere Primzahl als 2 oder 5 teilbar sind. Bestimmen Sie
\(\sum \limits_{m \in M} \frac{1}{m} .\)
Hinweis: Betrachten Sie die Mengen \( M^{(s)}=\left\{2^{k} 5^{l}: k, l \in \mathbb{N}_{0} ; k, l \leq s\right\}, s \in \mathbb{N} \) und zeigen Sie
\(\lim \limits_{s \rightarrow \infty} \sum \limits_{n \in M^{(s)}} \frac{1}{n}=\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n \in M_{N}} \frac{1}{n} .\)
Wäre sehr nett, wenn ihr mir helft.
