Cauchy-Schwarzsche Ungleichung | Skalarprodukt

Question

Ich soll aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, diese Ungleichung folgern:

\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| \leq \sqrt{n\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)} \quad\left(x_{i} \in \mathbb{R}\right. \) für \( \left.i=1, \ldots, n\right) \)

Als Hinweis wurde mir gegeben, dass ich mir das Skalarprodukt von (1,...,1) "mit einem geeigneten zweiten Vektor" anschauen soll.

Soweit ich verstanden habe ist die Ungleichung doch : |a*b| ≤ ||a|| ||b||

Ich weiß nicht genau wie ich das daraus folgern, soll das einzige was halt auffällt ist das kleiner gleich.

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Vom Duplikat:

Titel: Cauchy schwarzsche Ungleichung

Stichworte: cauchy,quadratische-gleichungen,gleichheit

Aufgabe:

Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Ungleichung

\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| \leq \sqrt{n\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)} \quad\left(x_{i} \in \mathbb{R} \text { für } i=1, \ldots, n\right) . \)
Hinweis: Betrachten Sie das Skalarprodukt von \( (1, \ldots, 1) \) mit einem geeigneten zweiten Vektor.

Problem/Ansatz:

Hallo ich habe Schwierigkeiten die cauchy schwarzschen Aufgabe zu lösen um ehrlich zu sein verstehe ich sie nicht ganz mir jemand erklären wie man vorgehen könnte ?

Answer 1

Tipp:

wähle für \(x\) den Vektor \((|x_1|,\cdots,|x_n|)\) und für \(y\) den Vektor

\((1,\cdots,1)\). Setze diese Vektoren in Cauchy-Schwarz ein:

\(|<x,y>|\leq \sqrt{<x,x>\cdot <y,y>}\).

Comments

Am besten \langle und \rangle für das Skalarprodukt verwenden.

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Danke. Die Zeichen hatte ich schon mal drauf,

sind dann aber ins Nirwana abgetaucht.

Answer 2

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt ja
\(\begin{aligned} \left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)\end{aligned} \)
In deinem Fall setzen wir also \( a_{i}=\left|x_{i}\right| \) und \( b_{i}=1 \) womit sich
\(\begin{aligned} \left(\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|\right)^{2} \leq\left(\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{2}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} 1\right)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) \cdot n\end{aligned} \)
ergibt.

Comments

Müsste auf der linken Seite die Summe nicht von Betragsstrichen umgeben sein , wieso kannst du die einfach weglassen? und müsste rechts nicht das ganze unter einer Wurzel stehen?

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Ich verstehe deine Frage nicht, schau dir am besten nochmal meine Lösung ganz genau an und dann wirst du sehen, dass alles Sinn ergibt.

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Das Hab ich jetzt auch nicht genau verstanden warum die Wurzel fehlt..

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Achso ne habs verstanden, da der erste term zum Quadrat ist, ist dass dasselbe als wenn rechts in wurzel steht und links ohne quadrat oder wie?

Answer 3

Hallo

Die Frage wurde schon gestellt und beantwortet:)