Tangente mit Schnittaufgabe

Question

Hallo, kann mir bitte jemand mit diesem Beispiel helfen?

Ermittle jene Tangente an die Parabel par, die zur Geraden g normal ist. Gib auch die Koordinaten des Berührpunktes an.

g: A=(0|2), B=(2|0)

Par: y^2=8x

Danke vielmals im Voraus

Comments

Falls es interessiert:

Die geometrische Lösung sieht so aus. Eine Parabel sei gegeben durch ihren Brennpunkt \(F\) und die Leitgerade \(l\) (blau gestrichelt). Man zeichnet eine Parallele (lila) zu \(g\) (rot) durch \(F\), die \(l\) in \(Q\) schneidet. Die Mittelsenkrechte der Strecke \(FQ\) ist die gesuchte Tangente \(t\) (grün).

Der Berührpunkt \(B\) ist der Schnittpunkt von \(t\) und der Orthogonalen zu \(l\) durch \(Q\).

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/ng25e4kt/28/

man kann die Punkte \(F\), \(G\) und \(A\) verschieben und die Steigung von \(l\) und \(g\) mit der Maus verändern.

Answer 1

Ermittle jene Tangente an die Parabel par, die zur Geraden g normal ist. Gib auch die Koordinaten des Berührpunktes an.
g: A=(0|2), B=(2|0)    Par: y^2=8x

Gerade  g(x)=-x+2     m₁=-1

Normalensteigung  m₂ =1

Normale: y=x+b  schneiden mit y^2=8x

(x+b)^2=8x

x^2+2bx+b^2=8x

x^2+x*(2b-8)=-b^2

(x+b-4)^2=-b^2+b^2-8b+16=16-8b |\( \sqrt{} \)

16-8b=0

b=2

Normale: y=x+2

Berührpunkt:

x+b-4=0     x+2-4=0    x=2     y=2+2=4

B(2|4)

Comments

@Moliets: verwendest Du den Graphikrechner von desmos.com für die Bilder?

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Nein, ich nehme für die Darstellung GeoGebra.

Answer 2

g(x) = mx+b

m= (0-2)/(2-0) = -1

2= -1*0+b

b= 2

g(x)= -x+2

...

Answer 3

Die Steigung der geraden ist -1. Damit ist die steigung der Normalen 1. Die Ableitung der Parabelfunktion muss gleich 1 sein.

y=√(8x)

y'=1/(2*√(8x)*8=4/√(8x)=4/(2*√(2x)=2/√(2x)=1 mit Kettenregel

2=√(2x)

4=2x

x=2

Berührpunkt

y=√(8*2)=√16=4

B(2/4)

Normale

y=x+b  Berührpunkt einsetzen

4=2+b

b=2

Normale: y=x+2