zu \(e_n= \sqrt{n} \cdot ( \sqrt{n+1} \) - \( \sqrt{n}) \)
en: Schreibe den Nenner 1 unter die Klammer
und erweitere mit \( \sqrt{n+1} \) + \( \sqrt{n} \) gibt
\(e_n=\sqrt{n} \cdot \frac{( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} ) \cdot ( \sqrt{n+1} - \sqrt{n}) }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} } \)
3. binomi. Formel
\(e_n=\sqrt{n} \cdot \frac{ n+1-n }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} } \)
\(= \frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} } \)
Mit √n kürzen
\(= \frac{ 1 }{ \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} + 1 } \)
also Grenzwert \(= \frac{ 1 }{ 1 + 1 } =\frac{ 1 }{ 2} \)
