Zeigen Sie folgende Aussage

Question

Aufgabe:

Seien v, w Elemente aus R^n. Zeigen sie folgende Aussage:

(v+w)*(v-w)=||v||^2-||w||^2

Problem/Ansatz:

Ich grübel vor dieser Aufgabe seit 30 Min und mir fällt kein Lösungsansatz ein. Hat jemand eine Idee?

Answer 1

\( \begin{aligned}\langle(\mathbf{v}+\mathbf{w}),(\mathbf{v}-\mathbf{w})\rangle_2=\left\langle\left[\begin{array}{c}v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2} \\ \vdots \\ v_{n}+w_{n}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}v_{1}-w_{1} \\ v_{2}-w_{2} \\ \vdots \\ v_{n}-w_{n}\end{array}\right]\right\rangle&=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\left(v_{i}+w_{i}\right) \cdot\left(v_{i}-w_{i}\right)\right) \\ &=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v_{i}^{2}-w_{i}^{2}\right) \\ &=\sum \limits_{i=1}^{n} v_{i}^{2}-\sum \limits_{i=1}^{n} w_{i}^{2} \\ &=\|\mathbf{v}\|_{2}^{2}-\|\mathbf{w}\|_{2}^{2} \end{aligned} \)