Wie bestimmt man den Formparameter und Skalenparameter einer Weibullverteilung?

Question

Aufgabe:

Die zufällige Ausfallzeit X eines elektrischen Gerätes sei weibullverteilt X ∼ Wei(η, β) mit dem Skalenparameter η und dem Formparameter β. Bis zum Ablauf der Gewährleistung nach 2 Jahren beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit 3%. Nach 4 Jahren, ist sie schon auf 10% gestiegen.

a) Geben Sie die Formel für die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zur Zeit t gemäß der Weibullverteilung an und bestimmen Sie die Parameter der Verteilung anhand der Angaben aus dem Text.

Problem/Ansatz:

in meinen Skript ist gegeben, dass die Überlebensfunktion S_X(x) = exp {−(x/η)^β}, für x ≥ 0, und sonst S_X(x) = 1. Ich verstehe jetzt nicht wirklich wie ich den Formparameter und Skalenparameter bestimmen kann. Könnte mir hier jemand weiterhelfen ?

Answer 1

Die Formel für die Überlebenswahrscheinlichkeit stimmt und lautet

$$ R(x) =  \begin{cases} e^{- \left( \frac{x}{\eta} \right)^\beta }  & x \ge 0 \\ 1 & \text{sonst} \end{cases} $$

Darus ergeben sich folgende Gleichungen

$$ (1) \quad R(2) = 0.97 = e^{- \left( \frac{2}{\eta} \right)^\beta } $$ und

$$ (2) \quad R(4) = 0.90 = e^{- \left( \frac{4}{\eta} \right)^\beta } $$

mit \( a = 0.97 \),   \( b = 0.90 \),    \( x_1 = 2\)  und \( x_2 = 4 \) ergibt sich

$$ \beta = \frac{ \ln\left( \frac{\ln(a)}{\ln(b)} \right) }{ \ln \left(\frac{x_1}{x_2} \right) } = 1.790 $$ und

$$ \eta = \frac{ x_1 }{ \left( -\ln(a) \right)^{\frac{1}{k}} } = \frac{ x_2 }{ \left( -\ln(b) \right)^{\frac{1}{k}} } = 14.058 $$

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danke für deine Antwort