Dichtefunktion und Verteilungsfunktion von der Weibullverteilung

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie für zwei Parameter α, β > 0 die Funktion

ƒ(x) = αβx^β−1e^{−αx^β}  1_(0,∞)(x)

Zeigen Sie, dass es sich um die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf (ℝ, IΒ(ℝ)) handelt. Diese wird als Weibullverteilung zu den Parametern α,β > 0 bezeichnet. Berechnen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht diese Funktion zu integrieren um irgendwie zu zeigen, dass das Integral 1 ergibt... Bereits nach dem 2. Schritt sieht das zu kompliziert aus und so, dass man es nicht mehr weiterverwenden kann. Ich tu mich seit heute morgen damit schwer. Kann irgendwer helfen? Bin dankbar für jede Antwort!!!

Answer 1

Substituiere \( z = x^\beta \)

Comments

!! Ich habs jetzt! :-))

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Ich sollte noch die Verteilungsfunktion dazu berechnen. Diese ist ja bei stetigen ZV'en das Integral der Dichtefunktion. Heißt es, dass ich eigentlich schon die Verteilungsfunktion bestimmt habe, indem ich bewiesen habe, dass die gegebene Funktion eine Dichtefunktion ist? Also: F(x) = -e^{-αx^β} 

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Die Verteilungsfunktion ist $$ F(x) = \int_0^x \alpha \beta s^{\beta-1} e^{-\alpha s^\beta} ds = 1- e^{-\alpha x^\beta} $$