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Aufgabe:

Wir betrachten die Betragsfunktion |\cdot| auf R \mathbb{R} . Zeigen Sie:
(a) Es gilt die Dreiecksungleichung
x+yx+y fu¨r alle x,yR |x+y| \leq|x|+|y| \quad \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
(b) Es gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung
xyxy fu¨r alle x,yR || x|-| y|| \leq|x-y| \quad \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} \text {. }

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Aloha :)

Es ist ±xx\pm x\le|x| und ±yy\pm y\le|y|, daher gilt:x+yx+yx+y\le|x|+|y|(x+y)=(x)+(y)x+y-(x+y)=(-x)+(-y)\le|x|+|y|Zusammengefasst heißt das:x+y=max((x+y);+(x+y))x+y|x+y|=\operatorname{max}(-(x+y);+(x+y))\le|x|+|y|

Damit gilt nun aber auch:

x=xy+yxy+y    xyxy|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y|\;\Leftrightarrow\;|x|-|y|\le|x-y|y=yx+xyx+x    yxyx    (xy)xy|y|=|y-x+x|\le|y-x|+|x|\;\Leftrightarrow\;|y|-|x|\le|y-x|\;\Leftrightarrow\;-(|x|-|y|)\le|x-y|Analog zu oben heißt das:xyxy||x|-|y||\le|x-y|

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