Zeigen Sie: Dreiecksungleichung

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Betragsfunktion \( |\cdot| \) auf \( \mathbb{R} \). Zeigen Sie:
(a) Es gilt die Dreiecksungleichung
\( |x+y| \leq|x|+|y| \quad \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} \text {. } \)
(b) Es gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung
\( || x|-| y|| \leq|x-y| \quad \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} \text {. } \)

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(\pm x\le|x|\) und \(\pm y\le|y|\), daher gilt:$$x+y\le|x|+|y|$$$$-(x+y)=(-x)+(-y)\le|x|+|y|$$Zusammengefasst heißt das:$$|x+y|=\operatorname{max}(-(x+y);+(x+y))\le|x|+|y|$$

Damit gilt nun aber auch:

$$|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y|\;\Leftrightarrow\;|x|-|y|\le|x-y|$$$$|y|=|y-x+x|\le|y-x|+|x|\;\Leftrightarrow\;|y|-|x|\le|y-x|\;\Leftrightarrow\;-(|x|-|y|)\le|x-y|$$Analog zu oben heißt das:$$||x|-|y||\le|x-y|$$