Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen: f(x) =(x+3)/(4-x), h(x)=-√(2x+6)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und den Wertebereich der folgenden Funktionen.

a) \( f(x)=\frac{x+3}{4-x} \)

b) \( g(x)=\frac{x}{x^{2}-1} \)

c) \( h(x)=-\sqrt{2 x+6} \)

Ich verstehe nicht, wie man den Definitionsbereich und Wertebereich bestimmt. Muss immer nach x aufgelöst werden? Wenn ja, wie erkenne ich dann den Wertebereich?

Answer 1

Zunächst musst du dir überlegen, wo die Funktion nicht definiert sein könnte. Dies ist zum Beispiel immer der Fall, wenn ein Nenner 0 wird, oder etwas Negatives unter der Wurzel steht, Logarithmen brauchen immer positive Argumente usw.

Danach machst du dir Gedanken, was mit der Funktion im Umkreis dieser Stellen geschieht. Dazu machst du eine Grenzwertbetrachtung von rechts und von links an diese Stelle.

Wenn es keine Stellen gibt, an denen die Funktion nicht definiert ist, dann ist der Definitionsbereich ℝ und du musst, um den Wertebereich zu ermitteln, Grenzwertbetrachtungen für ±∞ machen.

 

a)

Nenner wird für x=4 Null, daher DB: x∈ℝ; x≠4

lim (x→4^-) (x+3)/(4-x) = ∞

lim (x→4⁺) (x+3)/(4-x) = -∞

Bei x=4 ist also eine Polstelle. y nimmt daher alle Wert zwischen -∞ und +∞an.

Daher ist WB: y∈ℝ

b)

Nenner wird für x=1 und x=-1 Null, daher DB: x∈ℝ; x≠1;x≠-1

lim (x→1^-) x/(x^2-1) = -∞

lim (x→1⁺) x/(x^2-1) = +∞

lim (x→-1^-) x/(x^2-1) = -∞

lim (x→-1⁺) x/(x^2-1) = +∞

Es gibt also zwei Polstellen bei x=1 und x=-1. y nimmt daher alle Wert zwischen -∞ und +∞ an.

Daher ist WB: y∈ℝ

c)

Der Radikand muss größer oder gleich 0 sein. Daher kann die Funktion nur für x definiert sein, für die 2x+6 größer oder gleich 0 ist.

2x+6≥ 0

x≥-3

Daher ist D: x∈ℝ; x≥-3

h(-3) = 0

lim(x→∞) -√(2x+6) = -∞        (Die Wurzelfunktion ist eine monton über alle Grenzen steigende Funktion, durch negatives Vorzeichen also monoton fallend unter alle Grenzen)

Daher ist WB: y∈ℝ; y≤0

Comments

wie rechnet man b), damit da plus- und minus Unendlich rauskommt? Oder guckt man das nur am Graphen ab?

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Überlege dir, was passiert, wenn du Zahlen ganz nah an 1 einsetzt, und zwar einmal Zahlen, die größer(+) sind und einmal Zahlen die kleiner (-) sind als 1.

Bei lim (x→1^-) x/(x²-1) zum Beispiel steht im Zähler eine Zahl nah bei 1, im Nenner steht eine Zahl ganz nah bei 0, und weil x²<1 ist für x<1, ist diese Zahl negativ. Du teilst also die Zahl 1 durch eine sehr sehr kleine negative Zahl, daher ist das Ergebnis eine sehr sehr große negative Zahl. Da es immer eine noch kleinere Zahl gibt, kann das Ergebnis betragsmäßig auch immer noch größer werden, also -∞.

Ist es jetzt klarer?

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vielen Dank für die kompetente Antwort, noch eine Frage wenn ich lim x→4‾ habe heißt das das ich den lim ab -4 gegen unendlich laufen lasse

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Nein, das bedeutet, das du den linksseitigen Grenzwert gegen x=4 ermittelst. Das Minus soll verdeutlichen, dass du immer kleinere Zahlen von 4 subtrahierst und dich damit der 4 immer mehr annäherst.

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hätte ich also die Funktion (x+3)/(4+x)

x∈ℝ x≠-4

lim (x→4‾)=(4+x)=-∞


wäre dies dann richtig?

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Nein leider nicht.

Die Funktion hat bei 4 keine Unstetigkeit, also kannst du einfach 4 einsetzen und der Grenzwert für x gegen 4 ist dann 7/8.

Die Funktion hat aber bei -4 eine Unstetigkeit.

Du musst also die Grenzwerte lim (x→-4‾) und lim (x→-4+) finden.

lim (x→-4‾) (x+3)/(4+x) = +∞,

weil der Zähler gegen -1 geht und der Nenner sich 0 annähert und negativ ist.

lim (x→-4⁺) (x+3)/(4+x) = -∞,

weil der Zähler gegen -1 geht und der Nenner sich 0 annähert und positiv ist.