Aloha :)
$$I_1(n)=\int\sin(x)\cos^{-n}(x)\,dx$$
Für \(n=1\) steht im Zähler (bis auf das Vorzeichen) die Ableitung des Nenners, daher gilt:$$I(1)=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=-\ln|\cos(x)|+\text{const}$$
Für \(n\ne1\) nutzen wir \(\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin(x)\) bzw. \(\sin(x)dx=-d(\cos x)\) und substituieren:$$I_1(n)=-\int\cos^{-n}(x)\,d(\cos x)\stackrel{u\coloneqq\cos(x)}{=}-\int u^{-n}\,du=-\frac{u^{-n+1}}{-n+1}\stackrel{u=\cos(x)}{=}\frac{\cos^{-n+1}(x)}{n-1}$$
Damit haben wir folgende Lösung gefunden:$$I_1(n)=\int\sin(x)\cos^{-n}(x)\,dx=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\cos^{-n+1}(x)}{n-1}+\text{const}&\text{für }n\ne1\\[1ex]-\ln|\cos(x)|+\text{const}&\text{für }n=1\end{array}\right.$$
Im zweiten Fall brauchen wir keine Fallunterscheidung:
$$I_2=\int\limits_0^1\frac{9x^2}{(1+x^3)^7}\,dx=\int\limits_0^1\frac{3}{(1+x^3)^7}\,3x^2\,dx=\int\limits_0^1\frac{3}{(1+x^3)^7}\,d(1+x^3)$$$$\phantom{I_2}\stackrel{u\coloneqq1+x^3}{=}\int\limits_1^2\frac{3}{u^7}\,du=\int\limits_1^23u^{-7}\,du=\left[-\frac12u^{-6}\right]_1^2=-\frac{1}{2\cdot2^6}+\frac{1}{2}=\frac{2^6-1}{2^7}=\frac{63}{128}$$
